Ausbildung zum Vermessungstechniker und Übungsaufgaben

Geschrieben von Peggy am 16. Mai 2017, Geändert am 02. Januar 2022

Ausbildung

Auf meiner früheren Homepage hatte ich jede Menge Infos zu der Ausbildung und den Aufgaben eines Vermessungstechnikers veröffentlicht. Da diese Informationen mittlerweile hoffnungslos veraltet sind, möchte ich an dieser Stelle nur noch auf externe Links verweisen. Die Grundlagen der Ausbildung zum Vermessungstechniker sind in der „Verordnung über die Berufsausbildung in der Geoinformationstechnolgie“ vom 30. Mai 2010 geregelt. Auf der Seite des Bundesinstituts für Berufsbildung findet ihr dazu einen entsprechenden Link zum Download.

Nachfolgend möchte ich noch auf weitere interessante Links zu Aufgaben und Weiterbildungsmöglichkeiten aufmerksam machen.

Übungsaufgaben für angehende Vermessungstechniker

Im diesem Abschnitt möchte ich gerne ein paar Übungsaufgaben vorstellen, die man als Vermessungstechniker lösen können sollte. Es handelt sich dabei fast ausschließlich um mathematische Aufgaben. Bei zweien spielt die Physik (Optik) noch eine Rolle und bei einer anderen noch die Geographie (Gradnetz der Erde). Eigentlich können alle Aufgaben auch von Nicht-Vermessern berechnet werden. Man muss sich nur in der Mathematik auskennen, da vor allem in der ebenen Trigonometrie und man sollte „In-Dreiecken“ denken können.

Aufgabe 1:

Ein Flugzeug fliegt in 8.000 m Höhe entlang des Meridians 10° ö.L. mit einer konstanten Geschwindigkeit von 850 km/h nach Süden. Beim Überfliegen von Ort C (54° 20‘ n.B.) beginnt die Zeitzählung. Nennen Sie die Koordinaten des Ortes D, der nach 4 h 32 min lotrecht unter dem Flugzeug liegt. (Hinweis: Radius der Erde = ca. 6371 km)

Lösung Aufgabe 1 (zum Anzeigen anklicken)
../_images/loesung1.svg

gegeben ist:

Die Geschwindigkeit des Flugzeuges mit

\[v = 850 \frac{km}{h}\]

Die Dauer des Fluges mit

\[\Delta t = 4h 32min = 4,533h\]

Der Radius der Erde mit

\[r_{Erde} = 6371km\]

Die Flughöhe des Flugzeuges mit

\[f = 8km\]

Der Ort C mit den Koordinaten

\[N_{C} = 54° 20^{\prime} n.B. = 54,33333° n.B.\]
\[E_{C} = 10° ö.L.\]

Lösungsweg:

Im ersten Schritt wird die Länge des Kreisbogens b (= \(\Delta\) s) berechnet.

Die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit lautet

\[v = \frac{\Delta s}{\Delta t}\]

Somit ist

\[\Delta s = v \cdot \Delta t\]
\[\Delta s = b = 850 \frac{km}{h} \cdot 4,533h = 3853,05km\]

Im zweiten Schritt wird der Winkel \(\varphi\) berechnet.

Die Formel zur Berechnung eines Kreisbogens lautet

\[b = \frac{\varphi \cdot 2 \pi \cdot r}{360°} = \frac{\varphi \cdot \pi \cdot r}{180°}\]

Umstellen nach \(\varphi\)

\[\varphi = \frac{b \cdot 180°}{\pi \cdot r}\]

Beim Einsetzen der Werte ist zu beachten, dass sich hier der Radius r aus der Summe des Radius der Erde und der Flughöhe ergibt.

Somit ist

\[\varphi = \frac{3853,05km \cdot 180°}{\pi \cdot (6371km+8km)} = 34,60785° = 34° 36^{\prime} 28,26^{\prime\prime}\]

Im dritten Schritt werden die Koordinaten des Punktes D berechnet.

\[N_{D} = N_{C} - \varphi\]
\[E_{D} = E_{C}\]
\[N_{D} = 54,33333° - 34,60785° = 19,72548°\]

Somit sind die Koordinaten des Punktes D

\[N_{D} = 19,72548° n.B. = 19° 43^{\prime} 31,73^{\prime\prime} n.B.\]
\[E_{D} = 10° ö.L.\]

Aufgabe 2:

Ein 2 cm großer Gegenstand steht 2 cm vor einer Linse mit der Brennweite von +3 cm. Ermitteln Sie die Bildgröße und Bildweite.

Lösung Aufgabe 2 (zum Anzeigen anklicken)
../_images/loesung2.svg

gegeben ist:

Die Gegenstandsgröße

\[G = 2cm\]

Die Gegenstandsweite

\[g = 2cm\]

Die Brennweite

\[f = +3cm\]

Lösungsweg:

Im ersten Schritt wird die Bildweite b berechnet.

Zur Berechnung wird die Linsengleichung angewandt

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\]
\[\frac{1}{3cm} = \frac{1}{b} + \frac{1}{2cm}\]
\[\frac{1}{b} = \frac{1}{3cm} - \frac{1}{2cm} = - \frac{1}{6cm}\]
\[b = -6cm\]

(Das Bild ist somit virtuell und seitenrichtig.)

Im zweiten Schritt wird die Bildgröße B berechnet.

Zur Anwendung kommt die Abbildungsgleichung

\[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\]
\[B = \frac{b \cdot G}{g} = \frac{-6cm \cdot 2cm}{2cm}\]
\[B = -6cm\]

(Das Bild ist somit aufrecht und vergrößert.)

Aufgabe 3:

Auf horizontiertem Kronglas (n = 1,57) liegt eine 2 cm dicke Wasserschicht (n = 1,33). Ein Lichtstrahl kommt von der Luft und schließt den Winkel von 15,34° mit dem Lot ein. Berechnen Sie den Austrittswinkel den der Lichtstrahl im Kronglas mit dem Lot einschließt.

Lösung Aufgabe 3 (zum Anzeigen anklicken)
../_images/loesung3.svg

gegeben ist:

Die Brechzahl von Luft (annähernd)

\[n_{L} = 1,00\]

Die Brechzahl von Wasser

\[n_{W} = 1,33\]

Die Brechzahl von Kronglas

\[n_{K} = 1,57\]

Der Eintrittswinkel des Lichtstrahls in der Luft

\[\alpha = 15,34°\]

Lösungsweg:

Das Brechungsgesetz gibt für den Übergang eines Lichtstrahls von einem Stoff in einen anderen Stoff mit höherer Brechzahl nachfolgende Berechnungsformel vor.

\[\frac{n_{W}}{n_{L}} = \frac{sin \alpha}{sin \beta}\]

und

\[\frac{n_{K}}{n_{W}} = \frac{sin \beta}{sin \gamma}\]

Im ersten Schritt wird die erste Formel nach \(sin \beta\) umgestellt.

\[sin \beta = \frac{sin \alpha \cdot n_{L}}{n_{W}}\]

Im zweiten Schritt wird die zweite Formel nach \(sin \gamma\) umgestellt.

\[sin \gamma = \frac{sin \beta \cdot n_{W}}{n_{K}} = sin \beta \cdot \frac{n_{W}}{n_{K}}\]

Im dritten Schritt wird die erste nach \(sin \beta\) umgestellte Formel in die zweite umgestellte Formel eingesetzt. Dabei ergibt sich eine vereinfachte Formel für \(sin \gamma\), welche die Brechzahl \(n_{W}\) nicht mehr benötigt.

\[sin \gamma = \frac{sin \alpha \cdot n_{L}}{n_{W}} \cdot \frac{n_{W}}{n_{K}} = \frac{sin \alpha \cdot n_{L}}{n_{K}}\]
\[sin \gamma = \frac{sin 15,34° \cdot 1,00}{1,57}\]
\[\gamma = 9,70°\]

Der Austrittswinkel im Kronglas beträgt 9,70°.

Aufgabe 4:

Die Punkte 1, 2 und 3 liegen auf der Peripherie eines Kreises. Ermitteln Sie den Radius des Kreises.

Koordinatenverzeichnis:

Punkt   Rechtswert   Hochwert
  1     2574350,12   5713102,24
  2     2574412,86   5713221,15
  3     2574479,50   5713131,45
Lösung Aufgabe 4 (zum Anzeigen anklicken)
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gegeben ist:

Die Koordinaten der Punkte 1, 2 und 3.

Punkt 1:

\[y_{1} = Rechtswert = 2574350,12 (m)\]
\[x_{1} = Hochwert = 5713102,24 (m)\]

Punkt 2:

\[y_{2} = Rechtswert = 2574412,86 (m)\]
\[x_{2} = Hochwert = 5713221,15 (m)\]

Punkt 3:

\[y_{3} = Rechtswert = 2574479,50 (m)\]
\[x_{3} = Hochwert = 5713131,45 (m)\]

Lösungsweg:

Im ersten Schritt werden die Längen der Sehnen \(s_{1}\), \(s_{2}\) und \(s_{3}\) berechnet.

Dabei kommt der Satz des Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) zum Einsatz.

\[s{_{1}}^2 = (y_{3} - y_{2})^2 + (x_{2} - x_{3})^2\]
\[s_{1} = \sqrt{(y_{3} - y_{2})^2 + (x_{2} - x_{3})^2}\]

Auf das Einsetzen der Werte wird ab hier verzichtet.

\[s_{1} = 111,745m\]
\[s{_{2}}^2 = (y_{3} - y_{1})^2 + (x_{3} - x_{1})^2\]
\[s_{2} = \sqrt{(y_{3} - y_{1})^2 + (x_{3} - x_{1})^2}\]
\[s_{2} = 132,636m\]
\[s{_{3}}^2 = (y_{2} - y_{1})^2 + (x_{2} - x_{1})^2\]
\[s_{3} = \sqrt{(y_{2} - y_{1})^2 + (x_{2} - x_{1})^2}\]
\[s_{3} = 134,447m\]

Im zweiten Schritt wird der Winkel \(\beta\) berechnet.

Hierfür findet der Kosinussatz \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos \alpha\) Anwendung.

\[s{_{2}}^2 = s{_{1}}^2 + s{_{3}}^2 - 2 \cdot s_{1} \cdot s_{3} \cdot cos \beta\]

Umstellen nach \(cos \beta\) (Berechnung des Winkels in gon).

\[cos \beta = \frac{s{_{2}}^2 - s{_{1}}^2 - s{_{3}}^2}{-2 \cdot s_{1} \cdot s_{2}}\]
\[\beta = 71,5849 gon\]

Nach dem Zentri-Peripherie-Winkelsatz gilt

\[\beta = \frac{\alpha}{2}\]

Damit läßt sich dann der Radius r (= Hypotenuse) über den Sinus (von \(\beta = \frac{\alpha}{2}\)) in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\[Sinus = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}\]
\[sin \beta = sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot s_{2}}{r}\]

Umstellen nach r

\[r = \frac{\frac{1}{2} \cdot s_{2}}{sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot s_{2}}{sin \beta} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 132,636m}{sin 71,5849gon}\]
\[r = 73,521m\]

Der Radius des Kreises beträgt 73,521 m.

Aufgabe 5:

Berechnen Sie den Winkel \(\pi\).

../_images/aufgabe5.svg
Lösung Aufgabe 5 (zum Anzeigen anklicken)
../_images/loesung5.svg

gegeben ist:

\[\beta = 47,835 gon\]
\[\gamma = 40,071 gon\]
\[s_{1} = 19,86 m\]
\[s_{2} = 13,16 m\]

Lösungsweg:

Im ersten Schritt wird die Strecke a (= Gegenkathete) über den Tangens (von \(\beta\)) in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\[Tangens = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}\]
\[tan \beta = \frac{a}{s_{2}}\]

Umstellen nach a

\[a = tan \beta \cdot s_{2} = tan 47,835gon \cdot 13,16m\]
\[a = 12,294m\]

Im zweiten Schritt wird der Winkel \(\alpha\) mit Hilfe des Sinussatzes \(\frac{sin \alpha}{sin \beta} = \frac{a}{b}\) berechnet.

\[\frac{sin \alpha}{sin \gamma} = \frac{s_{1}}{a}\]

Umstellen nach \(\alpha\)

\[sin \alpha = \frac{s_{1} \cdot sin \gamma}{a} = \frac{19,86m \cdot sin 40,071gon}{12,294m}\]
\[\alpha = 79,984gon\]

Im dritten Schritt wird der Winkel \(\pi\) über die Winkelsumme in einem Dreieck berechnet.

Dieser besagt, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck 200 gon ergibt.

Somit ist

\[\alpha + \gamma + \pi = 200gon\]

Umstellen nach \(\pi\)

\[\pi = 200gon - \alpha - \gamma = 200gon - 79,984gon - 40,071gon\]
\[\pi = 79,945gon\]

Aufgabe 6:

Die Grenzlänge zwischen den Punkten 257 - 258 ist zu berechnen.

../_images/aufgabe6.svg
Lösung Aufgabe 6 (zum Anzeigen anklicken)
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gegeben ist:

\[s_{2} = 16,97m\]
\[s_{3} = 18,05m\]

Lösungsweg:

Die Aufgabe ist nur unter der Annahme, dass H2 in Verlängerung von 257 nach 258 liegt, zu lösen.

Im ersten Schritt wird der Winkel \(\alpha\) über den Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\[Tangens = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}\]
\[tan \alpha = \frac{s_{2}}{s_{3}}\]
\[\alpha = 48,0373gon\]

Im zweiten Schritt wird der Winkel \(\beta\) berechnet.

Da im Punkt H1 ein rechter Winkel vorliegt, ergibt sich für

\[\beta = 100gon - \alpha = 100gon - 48,0373gon\]
\[\beta = 51,9627gon\]

Im dritten Schritt kann nun die Strecke \(s_{1}\) über den Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet werden.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\[Tangens = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}\]
\[tan \beta = \frac{s_{1}}{s_{3}}\]

Umstellen nach \(s_{1}\)

\[s_{1} = s_{3} \cdot tan \beta = 18,05m \cdot tan 51,9627gon\]
\[s_{1} = 19,20m\]

Die Grenzlänge zwischen den Punkten 257 - 258 beträgt 19,20 m.

Aufgabe 7:

Gesucht ist die Entfernung von 20 - 19 und von 19 - 18. Der Punkt D liegt in der Verlängerung von C - S - F.

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Lösung Aufgabe 7 (zum Anzeigen anklicken)
../_images/loesung7.svg

gegeben ist:

\[s_{1} = 50,00m\]
\[s_{2} = 35,50m\]
\[s_{3} = 10,00m\]
\[s_{4} = 36,50m\]
\[s_{5} = 12,20m\]

Lösungsweg:

Im ersten Schritt wird der Winkel \(\alpha\) über den Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\[Tangens = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}\]
\[tan \alpha = \frac{s_{1}}{s_{2} - s_{3}} = \frac{50,00m}{35,50m - 10,00m}\]
\[\alpha = 69,9760gon\]

Im zweiten Schritt wird die Strecke \(s_{6}\) mit Hilfe des Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\[Tangens = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}\]
\[tan \alpha = \frac{s_{4}}{s_{6} - s_{3}}\]

Umstellen nach \(s_{6}\)

\[s_{6} = \frac{s_{4}}{tan \alpha} + s_{3} = \frac{36,50m}{tan 69,9760gon} + 10,00m\]
\[s_{6} = 28,615m\]

Im dritten Schritt wird die Strecke a über den Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\[Sinus = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}\]
\[sin \alpha = \frac{a}{s_{6}}\]

Umstellen nach a

\[a = s_{6} \cdot sin \alpha = 28,615m \cdot sin 69,9760gon\]
\[a = 25,491m\]

Die Entfernung von 20 - 19 beträgt 25,491 m.

Im vierten Schritt wird der Winkel \(\beta\) über die Winkelsumme in einem Dreieck (G-F-L) berechnet.

Dieser besagt, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck 200 gon ergibt.

Somit ist

\[\alpha + \beta + 100gon = 200gon\]

Umstellen nach \(\beta\)

\[\beta = 200gon - 100gon - \alpha = 100gon - 69,9760gon\]
\[\beta = 30,0240gon\]

Im fünften Schritt wird die Strecke b mit Hilfe des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\[Sinus = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}\]
\[sin \beta = \frac{s_{4} - s_{5}}{a + b}\]

Umstellen nach b

\[b = \frac{s_{4} - s_{5}}{sin \beta} - a = \frac{36,50m - 12,20m}{sin 30,0240gon} - 25,491m\]
\[b = 27,995m\]

Die Entfernung von 19 - 18 beträgt 27,995 m.

Aufgabe 8:

Die Vermarkung des Katasterfestpunktes 17 ist örtlich nicht mehr vorhanden. Der Punkt soll nun wiederhergestellt werden und zwar mit der Höhe und dem Fußpunkt des rechten Winkels auf die Messungslinie 16 - 181. Außer den vorliegenden Maßzahlen ergibt sich noch der Hinweis aus den Unterlagen, dass die Winkel \(\beta\) (in den Punkten 16 und 181) gleich groß sind. Berechnen Sie die Höhe und das Fußpunktmaß für den Punkt 17 und den Abstand 17 - 172, der zur Kontrolle nach Abmarkung des Punktes 17 gemessen werden soll.

../_images/aufgabe8.svg
Lösung Aufgabe 8 (zum Anzeigen anklicken)
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gegeben ist:

\[s_{1} = 356,72m\]
\[s_{2} = 93,19m\]
\[s_{3} = 5,24m\]
\[s_{4} = 202,96m\]
\[s_{5} = 14,24m\]

Lösungsweg:

Da die Winkel (= \(\beta\)) in den Punkten 16 und 181 gleich groß sind, handelt es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck und somit liegt der Fußpunkt zum Punkt 17 genau auf der Hälfte der Strecke \(s_{1}\).

Daraus ergibt sich

\[f = \frac{1}{2} \cdot s_{1} = \frac{1}{2} \cdot 356,72m\]
\[f = 178,36m\]

Das Fußpunktmaß des Punktes 17 beträgt 178,36 m.

Da der Tangens von \(\beta\) sowohl \(\frac{s_{3}}{s_{2}}\) als auch \(\frac{h}{f}\) ist, kann man beide Terme gleich setzen und nach h umstellen.

\[\frac{s_{3}}{s_{2}} = \frac{h}{f}\]
\[h = f \cdot \frac{s_{3}}{s_{2}} = 178,36m \cdot \frac{5,24m}{93,19m}\]
\[h = 10,03m\]

Die Höhe zum Punkt 17 beträgt 10,03 m.

Im dritten Schritt wird der Winkel \(\alpha\) mit Hilfe des Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\[Tangens = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}\]
\[tan \alpha = \frac{s_{4} - f}{s_{5} + h} = \frac{202,96m - 178,36m}{14,26m + 10,03m}\]
\[\alpha = 50,4037gon\]

Im vierten Schritt wird nun die Strecke a mit Hilfe des Kosinus (von \(\alpha\)) in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\[Kosinus = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}\]
\[cos \alpha = \frac{h}{a}\]

Umstellen nach a

\[a = \frac{h}{cos \alpha} = \frac{10,03m}{cos 50,4037gon}\]
\[a = 14,28m\]

Der Abstand zwischen Punkt 17 und 172 beträgt 14,28 m.

Berechnungsformulare

Zum Schluss möchte ich noch meine selbst „programmierten“ Formulare zur Verfügung stellen. Diese habe ich mit Hilfe von Excel erstellt. Vermessungstechniker/-ingenieure werden wissen, um was es bei diesen Formularen geht. Ich habe zu jedem einzelnen eine Erklärung gegeben, so dass jeder damit arbeiten könnte. Aber eine gewisse Vorkenntnis sollte man trotzdem mitbringen. Die Formulare sind heut zu Tage eigentlich nicht mehr üblich, da die meisten Berechnungen von Programmen erledigt werden.

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